NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Secara al-jabar pengertian fungsi naik dan fungsi turun adalah sebagai berikut:

Fungsi y = f(x) dikatakan naik pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) < f(x₂).

Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a < x < b, apabila untuk setiap pasangan x₁ dan x₂ dalam interval a < x < b, dengan x₁ < x₂ berlaku f(x₁) > f(x₂).

secara geometris turunan pertama pada suatu titik tertentu dapat ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva pada titik tersebut. Jika garis singgung condong ke kanan maka gradiennya akan bernilai positif atau ƒ′(x₀) > 0 sedangkan jika garis singgung condong ke kiri maka gradiennya akan bernilai negatif atau   ƒ′(x₀) < 0  

Perhatikan bahwa jika fungsi naik, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kanan, dan jika fungsi turun, maka garis-garis singgung pada interval tersebut akan condong ke kiri.

Contoh Soal:

1. Interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$ selalu turun adalah 

Diketahui $f\left(x\right)=x^3-6x^2+9x+2$, sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f\left(x\right)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }\left(x\right)<0$.
$\begin{array}{cc}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f\left(x\right)$ selalu turun adalah 1<x<3

2. Grafik fungsi $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$ tidak pernah turun dalam interval 

Diketahui $p\left(x\right)=x(6-x{)}^2$. Turunan pertama $p\left(x\right)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{cc}p\left(x\right)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }\left(x\right)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }\left(x\right)\ge 0$.
$\begin{array}{cc}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p\left(x\right)$ tidak pernah turun adalah x ≤ 2 dan x ≥ 6 

Nilai stasioner 

dalam hal khusus, apabila f'(x₀) = 0  maka f(x) disebut stasioner di titik = x = x₀, nilai f(x₀) karena hal tersebut disebut nilai stasioner f(x) pada x = x₀, dan titik (x₀, f(x₀)) disebut titik stasioner.

Contoh soal :

 f(x) = 3x2 – 6x + 5 → f '(x) =6x – 6

Nilai stasioner diperoleh jika f '(x) = 0 sehingga :

f '(x) = 0

6x – 6 = 0

x = 1.

f(1) = 3.12 – 6. 1 + 5 = 2

Jadi, nilai stasioner f(x) = 3x2 – 6x + 5 adalah f(1) = 2

Contoh soal pilihan ganda dan pembahasannya yang berhubungan dengan nilai stasioner, fungsi naik dan fungsi turun

Nomor 1
Grafik fungsi y = x² + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2
B. x > - 2
C. x ≤ - 2
D. x < - 2
E. x > 2

Pembahasan
Fungsi naik jika F¹(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x² + 4x + 1
y¹ = 2x + 4 > 0
2x > -4
x > - 2
Jawaban: B

Nomor 2
Fungsi y = 1/3 x³ - 3x² + 8x + 5 akan naik pada interval...
A. - 2 < x < 4
B. 2 < x < 4
C. x < 2 atau x > 4
D. x < - 4 atau x < 2
E. x < -2 atau x > 4

Pembahasan
Syarat fungsi naik adalah F¹(x) > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y¹ = x² - 6x + 8 > 0  (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan)
        (x - 4) (x - 2) > 0
        x = 4 atau x = 2  > 0
Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.
x = 4 ( ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4)
x = 4 maka y¹ = 5² - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 (> 0) berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.

Periksa x = 2 (ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2)

y1 = (3)2 - 6 . (3) + 8 = - 1 (< 0), berarti fungsi naik sebelum x = 2.
Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4
Jawaban: C


Nomor 3
Grafik fungsi y = x3 + 3x2 - 45 x turun pada interval...
A. - 5 < x < 3
B. - 3 < x < 5
C. x < - 5 atau x > 3
D. x < - 3 atau x > 5
E. x < 3 atau x > 5


Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah F1(x) < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = 3x2 + 6x - 45 < 0 atau 3(x2 + 2x - 15) (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja)
(x - 3) (x + 5) < 0
x = 3 atau x = - 5 < 0
Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.
x = 3 ( ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3)
x = 2 maka y1 = 22 + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 (< 0) berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.

Periksa x = 5 (ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y¹, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5)
y¹ = (- 6)² + 2 . (-6) - 15 = 9 (> 0), berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.
Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3
Jawaban: A


Nomor 4
Nilai stasioner dari fungsi y = x³ - x² - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3

Pembahasan
Syarat fungsi stasioner adalah F¹(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y¹ = 3x² - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
       (3x + 4) (x - 2) = 0
        x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban: A


Nomor 5
Grafik fungsi y = 1 / (x² + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2

Pembahasan
Gunakan syaran fungsi turun F¹(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U¹ = 0
V = x² + 1 maka V¹ = 2x
Jadi y¹ = (U¹ V - U . V¹) / V²
y¹ = (0 . x² + 1 - 1 . 2x) / (x² + 1)²
y¹ = - 2x / (x² + 1)² < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0
Jawaban: A