REMEDIAL PTS

Question 1

1. jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman

3. Deret geometri adalah jumlah n suku pertama dari barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio tetap atau memiliki pengali yang tetap antar suku yang berurutan. Secara umum suku ke-n barisan geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r adalah sebagai berikut.

Un=ar^n-1

Barisan geometri untuk n suku pertama dapat dituliskan sebagai berikut.

U₁, U₂, U₃, U₄, ... , Un
a, ar, ar², ... , ar^n-1

Jumlah n suku pertama barisan geometri di atas disebut sebagai deret geometri. Misal jumlah n suku pertama barisan geometri di atas adalah S_n maka S_n dapat dituliskan sebagai berikut.

S_n = a + ar + ar² + ... + ar^n-1
S_n = a(1 + r + r² + ... + r^n-1)

Untuk memperoleh rumus umum dari deret geometri di atas, kita perlu membuat persamaan lain sehingga bentuk di atas menjadi lebih sederhana. Caranya adalah dengan mengalikan S_n dengan r, sehingga setiap suku dari penjumlahan n suku pertama barisan geometri di atas dikalikan juga dengan rasio (r).

rS_n = ar(1 + r + r² + ... + r^n-1)
rS_n = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ)

Kurangi bentuk rS_n dengan bentuk S_n untuk mengeleminasi beberapa suku.

rS_n-S_n = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ) - a(1 + r + r² + ... + r^n-1)
S_n(r-1) = a(r + r² + r³ + ... + rⁿ - 1 - r - r² - ... - r^n-1)

Perhatikan bahwa pada bentuk terakhir ini ada suku-suku sejenis yang memiliki tanda berlawanan. Pasangan suku-suku sejenis yang memiliki tanda berlawanan ini hasilnya sama dengan nol. Suku-suku yang masih tersisa adalah rⁿ dan -1, sehingga kita peroleh bentuk berikut ini.

S_n(r-1) = a(rⁿ - 1)

Bentuk terakhir di atas merupakan rumus umum deret geometri yang memiliki suku pertama a dan rasio r dengan r > 1. Sedangkan untuk deret geometri yang memiliki suku pertama dan rasio r yang memiliki batas -1 < r < 1 rumus deret geometrinya adalah sebagai berikut.

Dua jenis rumus di atas diperoleh dengan cara penurunan yang sama, tapi untuk batas rasio yang berbeda. Barisan geometri yang memiliki batas rasio r > 1 disebut sebagai barisan geometri divergen, yaitu barisan geometri dengan suku-suku yang memiliki nilai semakin besar dan tidak menuju ke suatu bilangan. Sedangkan barisan geometri dengan batas rasio -1 < r < 1 disebut sebagai barisan geometri konvergen, yaitu barisan geometri dengan suku-suku yang memiliki nilai semakin mengecil dan menuju ke suatu bilangan. Ada yang menarik dari barisan geometri konvergen. Deret geometri dari barisan geometri konvergen memiliki nilai untuk banyak suku tak terhingga. Cukup masuk akal, karena kalau dilihat dari batas rasio barisan geometri konvergen berarti rasionya akan berbentuk bilangan rasional a/b dengan pembilang a lebih kecil dari penyebut b. Rumus deret geometri yang digunakan untuk deret geometri konvergen dengan banyak suku tak terhingga, sesuai dengan yang sudah dijelaskan sebelumnya adalah sebagai berikut.

dengan n menuju tak terhingga.

Rumus deret geometri konvergen untuk n menuju tak terhingga ini dapat diperoleh dengan konsep limit di tak terhingga sebagai berikut.

Karena rasio dari barisan geometri konvergen ini berbentuk a/b dengan nilai a lebih kecil daripada nilai b maka pangkat n dari rasionya akan menuju nol ketika n menuju tak terhingga, sehingga kita akan memperoleh bentuk berikut.

Rumus terakhir ini adalah rumus umum deret geometri konvergen dengan suku pertama a, rasio r dengan batas -1 < r < 1, dan banyak suku tak terhingga. Sekian pembahasan tentang pembuktian rumus deret geometri.

6. 1) buktikan kebenaran untuk

(Benar)

2) asumsikan benar untuk

( menunjukkan bahwa merupakan kelipatan 9)

3) cek kebenaran untuk

akan terbukti benar jika habis dibagi 9

bisa buktikan itu dengan induksi lagi

buktikan bahwa habis dibagi 9

1) cek kebenaran untuk

(benar)

2) asumsikan benar untuk

3) cek kebenaran untuk

terbukti bahwa habis dibagi 9 benar

7. n_>5={1,2,3,4,5}

2n-3<2n-2

=2(1)-3<2(1)-2

=(-1)<0(benar)

2(2) -3<2(2) -2

=1<2 (benar)

2(3) -3<2(3) -2

=3<4(benar)

2(4) -3<2(4) -2

=5<6( benar)

2(5) -3<2(5) -2

=7<8( benar)

8. itu adalah persamaan linier dua variabel
akann kita gunakan cara eliminasi (menghilangkan dulu) salah satu variabel, kita coba hilangkan x-nya dulu yaa..

persamaan x+2y=4 kita kalikan dengan 2, maka menjadi
2x+4y = 8 -------> (persamaan 1)
2x-3y = -13 ------> (persamaan 2)
--------------- - (dikurangi)
7y = 21
y = 21/7
y = 3

nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada
persamaan x+2y = 4,
x+2.3 = 4
x+6 = 4
x = 4-6
x = -2

jadi penyelesainnya adlh x= -2 dan y = 3

9. gula = x
beras = y
5x + 30y = 410.000 |*2
2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000
2x + 60y = 740.000
_________________-

8x = 80.000
x = 10.000

subtitusikan x nya ke persamaan
2x + 60y = 740.000
2(10.000) + 60y = 740.000
20.000 + 60y = 740.000
60y = 720.000
y = 12.000

jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000
maka 2kg gula dan 5kg beras
= 2(10.000) + 5(12.000)
= 20.000 + 60.000
= Rp 80.000

10.

11.

Question 2

12.

13.

14. Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi x + y ≤ 5 , x ≥ 0 , y ≥ 0, dan x , y ∈ R.

Question 3

15. x + 3y < 84 ; x+y < 60 ; x > 0 ; y > 0

16.

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(3) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

⇒ 2y = 20

⇒ y = 20/2

⇒ y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

⇒ x + 0 = 20

⇒ x = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

⇒ 0 + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

⇒ 3x + 0 = 20

⇒ 3x = 20

⇒ x = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20 | x 1 | x + 2y = 20

3x + y = 20 | x 2 | 6x + 2y = 40

============ -

-5x = -20

x = 20/5

x = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

y = 20 - 12

y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(4) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

= 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

= 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

= 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

17. diket:

ditanya:

det C...?

jawab:

- mencari transpos matrisk A

⇒

- mencari matriks C

- mencari det C

det C = (3)(3) - (-6)(8)

= 9 + 48

det C = 57

18.

19.

Diketahui
A =
Matriks A tidak mempunyai invers
Ditanyakan
x = .... ?
Jawab
Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol
Jadi
|A| = 0
(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0
10x + 5 – 18x + 3 = 0
8 – 8x = 0
8 = 8x
x =
x = 1

20.

Question 4

21. 1,7 atau 0,6

22.

Agar lebih mudah dalam membuat matriks produksi, pertama kita akan membuat tabel produksi untuk masing-masing pabrik sebagai berikut.

Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.
Dari matriks yang diperoleh dari poin 1, kita dapat menghitung banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya. Banyaknya kaos yang telah diproduksi adalah 7.820, sedangkan banyaknya jaket yang sudah diproduksi adalah 4.120. Selanjutnya, banyaknya kaos yang diproduksi oleh pabrik di Malang adalah 8.820, sedangkan banyaknya jaket yang telah diproduksi adalah 7.020.
Diketahui perkiraan peningkatan produksinya adalah 4% = 0,04. Artinya, jika n adalah banyaknya produksi pakaian tahun kemarin, maka banyaknya produksi pada tahun ini adalah n + 0,04n = 1,04n. Sehingga, matriks produksi pada tahun depan dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian skalar sebagai berikut.

Sehingga dari matriks di atas kita mendapatkan perkiraan banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth di pabrik Surabaya ataupun Malang. Pabrik di Surabaya akan memproduksi kaos kurang lebih 3.973 kualitas standard, 2.558 kualitas deluxe, dan 1.602 kualitas premium serta memproduksi jaket sebanyak 2.038 kualitas standard, 1.290 kualitas deluxe, dan 956,8 kualitas premium. Sedangkan pada, pabrik di Malang akan memproduksi kaos sebanyak 4.389 kualitas standard, 3.078 kualitas deluxe, 1.706 kualitas premium serta meproduksi jaket sebanyak 3.078 kualitas standard, 3.370 kualitas deluxe, dan 852,8 kualitas premium pada periode yang sama.
Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.

Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. x = pensil

y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)
4x + 2 y = 9.000 (x3)
_______________
10x + 6 y = 23.000
12x + 6y = 27.000
_______________ (-)
-2x = -4.000
x = 2.000

4x + 2y = 9.000
4*2000 + 2y = 9000
2y = 1000
y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500
sehingga doni harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500

24. Perkalian Matriks A dan Matriks B

AB =