Logika Matematika dan contoh soal

Pengertian Logika Matematika

Logika matematika ialah suatu cabang logika dan matematika yang mengandung sebuah kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika.

Logika matematika ini berhubungan erat dengan bidang ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika ini antara lain yaitu sebagai kekuatan ekspresif dari logika dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktianformal.

Logika matematika ini sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori rekursi, teori model, teori pembuktian dan teori matematika konstruktif.

Bidang-bidang ini masing-masing mempunyai hasil dasar logika yang serupa.

Hukum logika

1. Hukum komutatif, yaitu:

• p∧q ≡ q∧p
• p∨q ≡ q∨p

2. Hukum asosiatif, yaitu:

• (p  ∧  q) ∧ r sama dengan p ∧ (q  ∧  r)
• (p  ∨  q) ∨ r sama dengan p ∨ (q  ∨  r)

3. Hukum distributif, yaitu:

• Apabila p∧(q∨r) maka sama dengan (p∧q)∨(p∧r)
• Apabila p∨(q∧r) maka sama dengan (p∨q)∧(p∨r)

4. Hukum identitas, yaitu:

• p ∧ B ≡  p
• p ∨ S ≡  p

5. Hukum ikatan, yaitu:

• p ∧ S ≡  S
• p ∨ B ≡  B

6. Hukum negasi, yaitu:

• p ∧ ~p ≡  S
• p ∨ ~p ≡  B

7. Hukum negasi ganda, yaitu:

• ~(~p) ≡  p

8. Hukum idempotent, yaitu:

• p ∧ p ≡  p
• p ∨ p ≡  p

9. Hukum De Morgan, yaitu:

• ~(p ∧ q) ≡ ~p  ∨  ~q
• ~(p ∨ q) ≡ ~p  ∧  ~q

10. Hukum penyerapan, yaitu:

• p ∧ (p ∨ q) ≡  p
• p ∨ (p ∧ q) ≡  p

11. Negasi B dan S, yaitu:

• ~B ≡  S
• ~S ≡  B

12. p → q ≡ ~p  ∨  q

13. p ↔ q ≡ (~p  ∨   q) ∧ (p ∨ ~q)

Didalam logika matematika, terdapat cara untuk mementukan nilai dari suatu pernyataan, baik bernilai benar ataupun bernilai salah.

Pernyataan itu sendiri juga terbagi menjadi 2 jenis, yaitu:

1. Pernyataan Tertutup (Kalimat Tertutup)

Pernyataan tertutup atau kalimat tertutup yaitu suatu pernyataan yang sudah memiliki nilai benar atau salah.

Contohnya:
“5 ialah bilangan genap”, kalimat tersebut bernilai salah karena yang benar seharusnya ialah “5 adalah bilangan ganjil”.

2. Pernyataan Terbuka (Kalimat Terbuka)

Pernyataan terbuka atau kalimat terbuka ialah suatu pernyataan yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karna adanya suatu perubah atau variabel.

Contoh logika matematika:

Ketika , maka  bernilai salah, dan
Ketika , maka  bernilai benar

Ingkaran atau Negasi dari suatu Pernyataan

Ingkaran atau negasi ialah kebalikan nilai dari suatu pernyataan itu sendiri, dimana ketika suatu pernyataan bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan saat suatu pernyataan bernilai salah, maka negasinya bernilai benar. Ingkaran atau negasi dari pernyataan  dilambangkan dengan simbol: .

Pernyataan Kuantor

Pernyataan kuantor ialah bentuk logika matematika yang berupa pernyataan yang memiliki kuantitas. Didalam pernyataan kuantor, pada umumnya terdapat kata semua, seluruh, setiap, beberapa, ada, dan sebagian.

Kata-kata yang senilai dengan seluruh, semua, setiap termasuk dalam kuantor universal dan kata-kata yang senilai dengan sebagian, beberapa, ada, adalah termasuk kedalam kuantor eksistensial.

Kuantor universal dan kuantor eksistensial saling beringkaran.

Contoh:

 : semua orang ialah sarjana (Kuantor universal)

 : sebagian orang ialah tidak sarjana

Pernyataan Majemuk, Bentuk Ekuivalen dan Ingkarannya

Pernyataan Majemuk dalam ilmu matematika ialah beberapa pernyataan yang dapat dibentuk menjadi satu pernyataan dengan menggunakan kata penghubung logika seperti dan, atau, maka dan jika dan hanya jika.

Dalam logika matematika, kata hubung tersebut masing-masing memiliki lambang dan istilahnya sendiri, yaitu:

Tabel Kebenaran Konjungsi

Dari tabel diatas dapat kita simpulkan bahwa sifat dari konjungsi ialah bernilai benar jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai benar.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Berdasarkan tabel diatas maka dapat kita ambil simpulkan bahwa sifat dari disjungsi ialah bernilai salah jika kedua pernyataan penyusun dari peryataan majemuk keduanya bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

Pada sifat implikasi ini, , suatu p disebut sebagai hipotesa dan q sebagai konklusi. Maka pada implikasi ini akan menghasilkan nilai salah ketika konklusi salah dan hipotesa benar.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Pada sifat biimplikasi ini, suatu penyataan majemuk akan bernilai benar apabila kedua pernyataan penyusunnya bernilai sama, keduanya benar atau keduanya salah.

Tautologi dan Kontradiksi

Tautologi ialah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan yang ada dan kontradiksi ialah kebalikannya, yaitu pernyataan majemuk yang bernilai salah untuk semua kemungkinan yang ada.

Bentuk Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk yang memiliki nilai sama untuk seluruh kemungkinannya disebut ekuivalen.

Notasi ekuivalen dalam logika matematika ialah ““.

Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:

Ingkaran Pernyataan Majemuk

Ingkaran Konjungsi= 

Ingkaran Disjungsi= 

Ingkaran Implikasi= 

Ingkaran Biimplikasi= 

Konvers, Invers dan Kontraposisi

Konvers, invers dan kontraposisi adalah merupakan bentuk lain dari implikasi, dimana pengertiannya masing-masing yaitu:Konvers dari  ialah 

Invers dari  ialah 

Kontraposisi dari  ialah 

Penarikan Kesimpulan Logika Matematika

Penarikan kesimpulan ialah konklusi dari beberapa pernyataan majemuk (premis) yang saling keterkaitan.

Dalam penarikan kesimpulan tersebut terdiri atas beberapa cara, yaitu:

Contoh Soal Logika Matematika

Soal 1:
Premis 1 : Apabila Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi  rajin  belajar
Kesimpulannya dari kedua premis diatas yaitu ….

Jawab:
Premis 1               :  
Premis 2               :  p
Kesimpulan          :  q (modus ponens)
Maka, kesimpulannya ialah Andi juara kelas.

Soal 2:
Premis 1 : Apabila hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas yaitu ….

Jawab:
Premis 1               :  
Premis 2               :  
Kesimpulan          : (modus tollens)
Maka, kesimpulannya ialah hari tidak hujan.