LUAS DAN VOLUME DAERAH YANG BERKAITAN DENGAN INTEGRAL BERSAMA CONTOH SOALNYA

Luas suatu bidang dengan bentuk tertentu (seperti: lingkaran, segitiga, segiempat, dll) dapat ditentukan dengan rumus-rumus dasar yang sudah diketahui. Namun, untuk menentukan luas suatu bidang yang tidak beraturan atau tidak tentu akan sulit. Lihatlah gambar di bawah yang merupakan luasan area dibawah grafik y = f(x) yang dibatasi oleh x = a, x = b, dan garis x. Luas area tersebut hampir mendekati dengan luas dari total 11 segi panjang.

Jika jumlah segi panjang diperbanyak 21 buah seperti gambar dibawah, maka jumlah total luas persegi panjang tersebut semakin mendekati luas area grafik yang ditentukan. Sehingga untuk mendapatkan luas area tersebut, jumlah persegi panjang dibuat mendekati tak hingga. Dapat disimpulkan luas dari area sama dengan limit luas total segi panjang menuju tak hingga.

luas bidang di bawah grafik fx

Konsep ini menjadi dasar untuk mencari luas suatu bidang tak tentu. Luas suatu bidang di bawah grafik y = f(x) yang dibatasi oleh x = a, x = b dapat dicari dengan mengintegralkan fungsi tersebut pada selang $a \le x \le b$ . Atau dapat ditulis:

$Luas =\int^b_af(x)dx$

Pengoperasian integral tentu sama dengan intergral tak tentu hanya saja nilai a dan b disubstitusikan dalam fungsi hasil integral sebagai berikut:

$\int^b_af(x) dx = [F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$

Lihat contoh berikut ini sebagai pemahaman:

$\int^3_1 4x^3dx=[x^4]^3_1=(3^4)-(1^4) = 80$
$\int^2_1\frac{1}{x^3}dx =[-\frac{1}{2x^2}]^2_1 = [-\frac{1}{2(2)^2}]^2_1-(-\frac{1}{2(1)^2})$ = $-\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$

Intergral tentu memiliki sejumlah sifat-sifat penting yang dapat digunakan dalam pengoperasian matematika yaitu:

$\int^a_a f(x)dx=0$
$\int^b_a f(x) dx = - \int^a_b f(x) dx$
$\int^b_a k \cdot f(x)dx=k \cdot \int^b_af(x)dx$ … dengan k adalah konstanta/ bilangan
$\int^b_af(x)+g(x)dx = \int ^b_a f(x)dx +\int^b_a g(x)dx$
$\int^b_af(x)-g(x)dx = \int^b_af(x)dx - \int^b_ag(x)dx$
$\int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx+\int^c_bf(x)dx$ … dengan a < b < c

Pengintegralan suatu fungsi tidak selamanya dapat dikerjakan secara langsung dengan rumus dasar:

$\int ax^ndx=\frac{a}{(n+1)}x^{(n+1)}+C$

Bisa atau tidak ditentukan oleh bentuk fungsi yang diintegralkan. Teknik pengintegralan terdiri dari dua jenis yaitu teknik substitusi dan teknik parsial.

Penggunaan Integral

Pada penjelasan sebelumnya integral dapat digunakan untuk mencari luas suatu bidang sebagai fungsi pada interval $a \le x \le b$ dan dibatasi sumbu x sebagaimana proses integral tentu. Lihat tabel berikut:

Jenis Kegunaan	Batasan	Luas (A)	Keterangan
Luas grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	$A =\int^b_a f(x) dx$	Luas bidang berada pada: Atas sumbu x, atau Bawah sumbu x
Luas antara dua grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$	f(x) > g(x) pada selang a ≤ x ≤ b
Luas antara dua grafik dengan ordo maksimal 2	Grafik f(x) Grafik g(x)	$A = \frac{D \sqrt{D}}{6a^2}$	Determinan (D) didapat dari f(x) = g(x) menjadi ax2 + bx + c = 0

Pada penggunaan lebih lanjut, integral dapat digunakan untuk mencari volume. Volume didapat dari suatu bidang yang mengelilingi/berputar pada suatu sumbu. Metode untuk menghitung volume benda putar adalah metode cakram dan metode kulit.

Metode Cakram

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu x	V = $\int^b_a \pi [f(x)]^2) dx$
Volume Grafik	Grafik f(y) a ≤ y ≤ b Sumbu y	Sumbu y	V = $\int^b_a \pi [f(y)]^2) dy$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu x	V = $\int^b_a [f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(y) Grafik g(y) a ≤ y ≤ b	Sumbu y	V = $\int^b_a [f(y)]^2 - [g(y)]^2) dy$

Metode Kulit

Jenis Volume	Batasan Bidang	Sumbu Putar	Volume
Volume Grafik	Grafik f(x) a ≤ x ≤ b Sumbu x	Sumbu y	V = $2 \pi \int^b_a x \cdot f(x) dx$
Volume Antara Dua Grafik	Grafik f(x) Grafik g(x) a ≤ x ≤ b	Sumbu y	V = $2 \pi \int^b_a x \cdot [f(x) - g(x)] dx$

Contoh Soal Integral Tentu, Penggunaan Integral, dan Pembahasan

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh 2 grafik yaitu grafik $y = 2x^3 + x^2 - x - 1$ dan grafik $y = x^3 + 2x^2 - x - 1$ .

Pembahasan:

Kedua grafik dibuat persamaan f(x) – g(x) untuk mendapat titik potong:

$2x^3 + x^2 - x - 1 = x^3 + 2x^2 + 5x - 1$

$x^3 - x^2 - 6x = 0$

$(x+2)(x)(x-3) = 0$

Akar-akarnya merupakan titik potong kedua grafik yaitu x = -2, x = 0, x = 3.

Maka luas grafik tersebut adalah:

$A =\int^b_a f(x) - g(x) dx$ = $\int^c_a f(x) - g(x) dx + \int^b_c f(x) - g(x) dx$

Dengan a = -2, b = 3, dan c = 0, maka

$A =\int^0_{-2} f(x) - g(x) dx = \int^0_{-2} x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^0_{-2}$

$= 0 - (\frac{1}{4}(-2)^4 - \frac{1}{3}(-2)^3 - \frac{6}{2}(-2)^2)$

$= 0 - (\frac{16}{4} - \frac{8}{3} - 12)$ = $- (\frac{48 + 32 - 144}{12}) = \frac{64}{12}$

$A =\int^3_0 f(x) - g(x) dx = \int^3_0 x^3 - x^2 - 6x dx$ = $[\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 - \frac{6}{2}x^2]^3_0$

$= (\frac{1}{4}(3)^4 - \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{6}{2}(3)^2) - 0$ = $\frac{81}{4} - 9 - 27 = - \frac{63}{4}$

Nilai $- \frac{63}{4}$ memiliki tanda (-) mengartikan pada interval 0 ≤ x ≤ 3 kurva g(x) > f(x), sehingga penulisan integran terbalik. Seharusnya: g(x) – f(x). Luas tidak mungkin (-) sehingga yang dijumlahkan adalah $\frac{63}{4}$ . Sebagai berikut: