Soal Trigonometri

Nama           : Deva Naufal F

Kelas            : X IPS 2

No.Absen   : 11

Remedial PAT Matematika

1. Besar sudut 
$\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan 

= 

$\begin{array}{cc}\frac{3}{4}\pi \text{rad}& =\frac{3}{4}\times {{180}^{45}}^{\circ }\\ & =3\times {45}^{\circ }={135}^{\circ }\end{array}$
Jadi, besar sudut $\frac{3}{4}\pi \text{rad}$ sama dengan ${135}^{\circ }$

2. Besar sudut 72° sama dengan ... rad

= 
$\begin{array}{cc}{72}^{\circ }& ={72}^2\times \frac{\pi }{{180}^5}\text{rad}\\ & =\frac{2}{5}\pi \text{rad}\end{array}$
Jadi, besar sudut ${72}^{\circ }$ sama dengan $\frac{2}{5}\pi \text{rad}$

3. Sebuah kipas angin berputar dengan   kecepatan 36 putaran per menit. Nyatakan kecepatan putaran kipas angin tersebut ke dalam satuan radian per detik!

Penyelesaian:
36 putaran/menit = 36 x 2π/60 putaran/detik
36 putaran/menit = 1,2π putaran/detik

Jadi 36 putaran per menit sama dengan 1,2π putaran per detik.

4. Sebuah segitiga siku-siku.

Diketahui nilai dari sin β = 2/3. Tentukan nilai dari :
a) cos β
b) tan β

Pembahasan
sin β = 2/3 artinya perbandingan panjang sisi depan dengan sisi miringnya adalah 2 : 3

Gunakan phytagoras untuk menghitung panjang sisi yang ketiga (sisi samping):



Sehingga nilai cos β dan tan β berturut-turut adalah

5. Jika (f o g) (x) = x + 4, dan g(x) = x – 2. Maka carilah invers dari fungsi f(x).

Pembahasan :

(f o g) (x) = x + 4

f(g(x)) = x + 4

f(x – 2) = x + 4

Misal u = x – 2, maka x = u + 2, sehingga

f(x – 2) = x + 4

f(u) = u + 2 + 4

f(u) = u + 6

f(x) = x + 6

y = x + 6

x = y – 6

f-1(x) = x – 6

Jadi, invers dari fungsi f(x) adalah f-1(x) = x – 6.

6. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 153°

sin 243°

cos 333°

Pembahasan :

Sudut 153° adapada kuadran II, hingga tan 153° memiliki nilai negatif.

tan 153° = tan (180° − 27°)

= -tan 27°

Sudut 243° ada pada kuadran III, sehingga sinus memiliki nilai negatif.

sin 243° = sin (270° − 27°)

= -cos 27°

Sudut 333° ada pada kuadran IV, hingga cosinus memiliki nilai positif.

cos 333° = cos (360° − 27°)

=cos 27°

7. Tanpa memakai kalkulator, tentukan nilai dari sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘.

Pembahasan :

sin 100° = sin (90° + 10°)
= cos 10°

cos 190° = cos (180° + 10°)
= -cos 10°

cos 350° = cos (360° − 10°)
= cos 10°

sin 260° = sin (270° − 10°)
= -cos 10°

Jadi :
sin100∘−cos190∘cos350∘−sin260∘=cos10∘−(−cos10∘)cos10∘−(−cos10∘)=2cos10∘2cos10∘=1

8. Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan cos 2x = 1/2 dalam interval 0° < x ≤ 360.

Pembahasan :
cos 2x = 1/2
cos 2x = cos 60

Maka :
2x = 60 + k.360
x = 30 + k.180
Untuk k = 0
maka x = 30 + (0)180 = 30

Untuk k = 1
maka x = 30 + (1)180 = 210
dan 2x = –60 + k.360
x = –30 + k.180
Untuk k = 1
maka x = –30 + (1)180 = 150

Untuk k = 2
maka x = –30 + (2)180 = 330
Jadi H adalah { 30, 150 , 210 , 330 }

9. untuk koordinat kutub ke koordinat kartesius

Jika diketahui koordinat kutub (6√3, 60°), maka koordinat kartesiusnya adalah?

Pembahasan :

koordinat kutub ⇒ koordinat kartesius

              (r , α) ⇒ ( x , y )

r = 6√3 ;         α = 60° 

(Karena α sudut di kuadran I, maka x positif f dan y positif)

x = r cos α

⇒ 6√3 x cos 60°

⇒ 6√3 x 1/2

⇒ 3√3

y = r sin α

⇒ 6√3 x sin 60°

⇒ 6√3 x 1/2 √3

⇒ 3 x 3

⇒ 9

sehingga koordinat kartesiusnya ialah ( 3√3 , 9)

10. Bagus berdiri dengan jarak 80 m dari sebuah menara memandang puncak menara dengan sudut elevasi 30o. Jika jarak mata Bagus dengan tanah adalah 150 cm, tinggi menara tersebut adalah?

Pembahasan :

Perhatikan ilustrasi berikut.

Jadi, tinggi menara adalah

  

  

  

10. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan kecepatan 40 km/jam selama 2 jam dengan arah 030°, kemudian melanjutkan perjalanan dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan kecepatan 60 km/jam selama 2,5 jam dengan arah 150°. Buatlah sketsa perjalanan kapal dan tentukan jarak antara pelabuhan A dan C!

Pembahasan:

Jarak = kecepatan x waktu

Jarak pelabuhan A ke B adalah 40 x 2 = 80 km

Jarak pelabuhan B ke C adalah 60 x 2,5 = 150 km

Perhatikan gambar terlampir.

Besar sudut ABC adalah 30° + 30° = 60°

Gunakan aturan cosinus untuk mencari AC

AC² = AB² + BC² - [2 x AB x BC x cos ∠ABC]

AC² = 80² + 150² - [2 x 80 x 150 x cos 60°]

AC² = 28.900 - [2 x 80 x 150 x ¹/₂]

AC² = 28.900 - 12.000

AC = √ 16.900

Diperoleh jarak antara pelabuhan A dan C sejauh 130 km

11. Diketahui suatu taman di tengah kota berbentuk segitiga sembarang. Jika sudut apit sebesar 60o dan dua sisi yang mengapitnya masing-masing panjangnya 18 meter dan 16 meter, maka luas taman tersebut adalah ….

Pembahasan:

Untuk menentukan luas segitiga sembarang yang diketahui panjang dua sisi dan sudut antara kedua sisi tersebut dapat memanfaatkan fungsi sinus.

  

  

  

12. Andi sedang mengukur mainan segitiganya yang tiap sudutnya dikodekan dengan A, B, dan C, kemudian diketahui segitiga tersebut memiliki sudut A = 30º, sisi a = 6cm dan sisi b = 8cm. Hitung besar sudut B.

Pembahasan :

Akan dicari besar sudut B
sin B = (b sin A)/a
sin B = 8/6 sin 30̊
sin B = 2/3
B = arc sin B
B = arc sin (2/3)
B = 41,8̊
Jadi, besar sudut B adalah 41,8̊ atau 180̊ – 41,8̊ = 138,2̊


13. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a yaitu 10 cm dan panjang sisi c yaitu 12 cm. Jika besar sudut yang diapit oleh a dan c yaitu 46o, maka tentukan panjang sisi b.

Pembahasan :
Dik : a = 10 cm, ∠B = 46o, c = 12 cm
Dit : b = ... ?

Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
⇒ b2 = 102 + 122 − 2(10)(12) cos 46o
⇒ b2 = 100 + 144 − 240 (0.6946)
⇒ b2 = 244 − 166,7
⇒ b2 = 77,3
⇒ b = 8,8 cm
Jadi, panjang sisi b yaitu 8,8 cm.

14. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah?

Pembahasan :

Pembahasan

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)= y = a sin k(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x =−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x =3π2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π2–(−π2)=2π.
Dengan demikian,
k = 2π Periode = 2π
2π =1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum2=2−(−2)2=2
Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)

15.  Grafik f(x)=2cosx memotong sumbu-X di titik berkoordinat ?

Pembahasan :

Apabila grafik memotong sumbu-X, maka nilai f(x)=y=0. Dengan demikian,
f(x)=2cosx⇒0=2cosx⇔cosx=0
Nilai x yang membuat cosx bernilai 0 adalah 90∘.
Jadi, titik potong grafiknya berkoordinat (90∘,0)

16. Apabila x berada pada interval tertutup (0°, 360°) maka nilai minimum y=cos x dicapai pada x =

Y maksimum = 1

sin x = 1

sin x = sin 90°

maka x = 90°

17. Jika tan a= p dan 90 <a<180 maka sin a=

90° < α < 180°    ⇒ α di kuadran II dan sin α bernilai positif

tan² α + 1 = 1/cos² α

   p²    + 1 = 1/cos² α

     cos² α = 1/(p² + 1)

     sin² α + cos² α = 1

sin² α + 1/(p² + 1) = 1

                   sin² α  = 1 - 1/(p² + 1)

                   sin² α  = (p² + 1 - 1) / (p² + 1)

                   sin² α  = p² / (p² + 1)

                    sin α  = √{p² / (p² + 1)

                              = p / √(p² + 1)

18. Jika cotangen x = 3, maka nilai dari 1/1+cos x + 1/1-cos x adalah=

cot x = 3 

tan x = 1/ cot x

tan x = 1/3  = y/x

r = √(x² +  y²) = √(3²+1²)

r = √10

sin x = y/r = 1/√10

sin² x = (1/√10) = 1/10

1/(1 +cos x) + 1/ (1 - cos x) =

= {1(1 - cos x) +1(1 + cos x)} /(1+cos x)(1 - cos x)

= (1 - cos x + 1 + cos x) / (1 - cos² x)

= 2/sin² x

= 2 / (1/10)

= 10/2

= 5

19.Jika sin a = 5/7 ,dengan A lancip maka tan a=

Tan = de/sa

5/ 2 akar 6 

20. Perhatikan gambar di bawah!

Segitiga $ABD$ siku-siku di $A$ dan segitiga $BCD$ siku-siku di $C$. Tentukan panjang 

$CD$

Pada segitiga siku-siku $ABD$, panjang $AD$ dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{array}{cc}\cos {45}^{\circ }& =\frac{AB}{BD}\\ \frac{1}{2}\sqrt{2}& =\frac{10}{BD}\\ BD& =10\times \frac{2}{\sqrt{2}}=10\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Pada segitiga siku-siku $BCD$, panjang $CD$ juga dapat ditentukan dengan menggunakan perbandingan trigonometri cosinus.
$\begin{array}{cc}\cos {60}^{\circ }& =\frac{CD}{BD}\\ \frac{1}{2}& =\frac{CD}{10\sqrt{2}}\\ CD& =10\sqrt{2}\times \frac{1}{2}=5\sqrt{2}\text{cm}\end{array}$
Jadi, panjang $CD=5\sqrt{2}\text{cm}$